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2018年5月31日星期四

不是算術




事實上,除了表示算術的相等之外,「=」還有其他用法。(Pixabay)
最近幾位友人不約而同地發來以下問題:1 = 4,2 = 8,3 = 24,4 = ?

這問題似乎已廣為流傳,吸引了不少人的興趣。有人得意地表示自己答對了;另有人則自怨中了圈套,提出 96 這「錯誤」答案;他們看到每個等號右邊的數,都是該等號左邊的數乘前一個等號右邊的數:2×4 = 8,3×8 = 24,所以接着應是 4×24 = 96;又或者他們用了「階乘」n!,看到4, 8, 24, ……這序列的規律是 4×1!=4,4×2!=8,4×3!=24,所以下一個是 4×4!=96。



誰知出題者說:「嘿,中計了!正確的答案很簡單:因為 1 = 4,所以 4 = 1。」

擾亂思路的地方

這問題蠱惑的地方在於中間兩個等式 2 = 8 和 3 = 24,原來都是「假線索」,用來擾亂思路,把解題者引入歧途。真正的線索,是題目的寫法:如果真的要從已知的首三項求出下一項,題目不會列出 1 = 4、2 = 8、……;只會問「4,8,24,下一項是什麼?」這是一類常見IQ題的形式。

作為數學教師,對於「因為 1 = 4,所以 4 = 1」這推斷,不能不多說幾句。這推斷的依據,是「=」這關係的「對稱性」:當 a = b,必有 b = a。並不是所有關係都是對稱的,例如 a < b時,便不可能 b < a;又如「同學」關係對稱(倘甲是乙的同學,乙必也是甲的同學),但「朋友」或「敵人」關係都不一定對稱。

「當 a = b,必有 b = a」裏面的「=」,表示算術裏的相等關係;這關係是對稱的,所有小學生都知道。可是,上面那條蠱惑題所用的「=」,是表示算術裏的相等關係嗎?顯然不是;如果是算術裏的相等,就不可能有 1 = 4、2 = 8。即是說,題目裏的「=」表示的是另一個關係,而這關係是不是對稱的,沒法從已知條件推斷得到。



事實上,除了表示算術的相等之外,「=」還有其他用法。例如編寫電腦程序,常會用「n = n+1」這指令,表示把先前使用的n的值換作 n+1的值;這裏的「=」就不是對稱的。在不知道「=」所代表的關係怎麼定義的時候,我們不能說「因為 1 = 4,所以 4 = 1」。

話說回來,假如問的是「正路」的IQ題「4,8,24,下一項是什麼?」,你會答96,對嗎?讀數學的人卻會說:任何數都可以是答案。

原刊於《am730》
專欄:金玉良言 作者:曾鈺成 日期:2018-05-31