不是算術

事實上，除了表示算術的相等之外，「=」還有其他用法。（Pixabay）

最近幾位友人不約而同地發來以下問題：1 = 4，2 = 8，3 = 24，4 = ?

這問題似乎已廣為流傳，吸引了不少人的興趣。有人得意地表示自己答對了；另有人則自怨中了圈套，提出 96 這「錯誤」答案；他們看到每個等號右邊的數，都是該等號左邊的數乘前一個等號右邊的數：2×4 = 8，3×8 = 24，所以接着應是 4×24 = 96；又或者他們用了「階乘」n!，看到4, 8, 24, ……這序列的規律是 4×1!=4，4×2!=8，4×3!=24，所以下一個是 4×4!=96。



誰知出題者說：「嘿，中計了！正確的答案很簡單：因為 1 = 4，所以 4 = 1。」

擾亂思路的地方

這問題蠱惑的地方在於中間兩個等式 2 = 8 和 3 = 24，原來都是「假線索」，用來擾亂思路，把解題者引入歧途。真正的線索，是題目的寫法：如果真的要從已知的首三項求出下一項，題目不會列出 1 = 4、2 = 8、……；只會問「4，8，24，下一項是什麼？」這是一類常見IQ題的形式。

作為數學教師，對於「因為 1 = 4，所以 4 = 1」這推斷，不能不多說幾句。這推斷的依據，是「=」這關係的「對稱性」：當 a = b，必有 b = a。並不是所有關係都是對稱的，例如 a < b時，便不可能 b < a；又如「同學」關係對稱（倘甲是乙的同學，乙必也是甲的同學），但「朋友」或「敵人」關係都不一定對稱。

「當 a = b，必有 b = a」裏面的「=」，表示算術裏的相等關係；這關係是對稱的，所有小學生都知道。可是，上面那條蠱惑題所用的「=」，是表示算術裏的相等關係嗎？顯然不是；如果是算術裏的相等，就不可能有 1 = 4、2 = 8。即是說，題目裏的「=」表示的是另一個關係，而這關係是不是對稱的，沒法從已知條件推斷得到。



事實上，除了表示算術的相等之外，「=」還有其他用法。例如編寫電腦程序，常會用「n = n+1」這指令，表示把先前使用的n的值換作 n+1的值；這裏的「=」就不是對稱的。在不知道「=」所代表的關係怎麼定義的時候，我們不能說「因為 1 = 4，所以 4 = 1」。

話說回來，假如問的是「正路」的IQ題「4，8，24，下一項是什麼？」，你會答96，對嗎？讀數學的人卻會說：任何數都可以是答案。

原刊於《am730》
專欄：金玉良言 作者：曾鈺成 日期：2018-05-31