何來答案的數學IQ題

IQ題：4，8，24，下一個數是什麼？請選擇：（A）96，（B）72，（C）48，（D）52。

原則上，最佳的答案，應該是可以用最簡單的理論解釋得到的。問題是，用什麼標準去衡量哪一套理論最「簡單」呢？

專欄：金玉良言   作者：曾鈺成

 解 ：三個已知數依次等如 4×1!，4×2! 和 4×3!（ n! 表示 n 的「階乘」，即 1 至 n 的所有自然數的乘積），所以下一個數是 4×4!=96；正確答案是（A）。

但再看看，發現三個已知數中，第二個數是前數的兩倍，第三個數又是前兩數加起來的兩倍；所以下一個數應是前面三數加起來的兩倍，即（4+8+24）x2=72。這樣看，（B）才是正確答案。

接着我們又觀察到，三個已知數跟首三個素數 2，3，5 的平方 4，9，25 很接近；事實上，4，8，24 是最接近 4，9，25 的 4 的倍數。如果這才是問題裏的序列的規律，下一個數就是和素數 7 的平方 49 最接近的4的倍數，即（C）的48。

最後我們又發現，三個已知數都符合公式 8+2（3n-1）（n-2）：當 n =1，2和3時，這公式算得的值正是 4，8 和 24；當n=4時，它的值就是 52。或者，出題人所想的答案其實是（D）。



四個都是正確答案

哪一個才是「正確」的答案？原則上，最佳的答案，應該是可以用最簡單的理論解釋得到的。問題是，用什麼標準去衡量哪一套理論最「簡單」呢？

譬如拿（A）和（B）比較：（A）的規律是「第 n 個數等如 1 乘至 n 再乘4」；（B）的規律是「每個數等如前面各數加起來乘 2」；哪一個較簡單？再看（C）：「第 n 個數是最接近第n個素數平方的4的倍數」；只要有了素數的序列，這是十分簡單的推算。至於（D），公式看起來或者不算很簡單，可是在四個選擇中，唯有（D）是可以用公式算出第 n 個數，而且不論 n 的大小，運算步驟都是一樣；當 n 很大時，要計算第 n 個數，（D）比（A）、（B）或（C）都簡單得多。

最合理的答案是，（A）、（B）、（C）和（D）都對，雖然這樣回答IQ題，會得 0 分。



如果出題人揭曉答案，譬如說，他所想的答案是 52，那末我們就知道（A）、（B）和（C）都猜錯了；但這是否證明（D）的理論「正確」，即猜中了出題人用來計算的公式呢？ 不是。無數不同的公式都可以給出 4，8，24，52；（D）的公式只是其中之一。所以，即使 IQ題問的是：4，8，24，52，下一個數是什麼？也是沒有唯一的答案。


原刊於《am730》

曾鈺成

2008至2016年出任香港立法會主席，曾參與多屆立法會地區直選。現擔任培僑書院和培僑中學校監及培僑小學校董。1968年在香港大學畢業後，於培僑中學任教，後擔任校長。香港大學教育文憑及碩士。1992年與一群志同道合人士成立民主建港聯盟，並出任創黨主席，2003年改任會務顧問。回歸前，積極參與香港過渡期工作，曾出任香港特別行政區籌備委員會成員，並擔任全國政協委員。2002-2008年擔任行政會議成員。